viernes, 11 de septiembre de 2009

Epistemología, cognición y metacognición en la educación matemática en ingeniería (por Sergio Prince Cruzat)

Epistemología, cognición y metacognición en la educación matemática en ingeniería

por el Doctor en Filosofía Sergio Prince Cruzat


La universidad debe lograr en el estudiante de ingeniería la capacidad de “aprender”, es decir, la tarea de la universidad no consiste solamente en entregar una gran cantidad de conocimientos, sino en enseñar al futuro ingeniero a pensar, a estudiar de modo independiente, creativo, innovador. Para esto, es necesario organizar el aprendizaje de modo tal que estimule el desarrollo de estas capacidades. El estudiante debe pasar de sujeto pasivo ser el centro del proceso de aprendizaje. La educación superior debe formar un ingeniero cabal, versátil y flexible cuya fortaleza primordial sea la capacidad de reconocer cuando sus conocimientos están obsoletos y luego la capacidad de decidir por la formación continúa. En el ingeniero es necesaria una comprensión metacognitiva del propio saber. Una de las vías para alcanzar este objetivo, es invitar a los profesores a “facilitar las matemáticas” en las carreras de ingeniería no sólo como herramienta de cálculo, sino que como herramientas para modelar y resolver problemas, como un lenguaje universal capaz de contribuir al conocimiento y desarrollo de otras disciplinas propias del perfil profesional y como herramientas para lograr el desarrollo del pensamiento lógico, la capacidad de razonar, de enfrentarse a situaciones nuevas [1]. En este sentido, el rol de la historia de las matemáticas, el uso de la tecnología, el acento en el modelamiento y el fomento del gusto por las matemáticas, son fundamentales para alcanzar el dicho propósito. Ahora bien, la fundamentación teórica de esta propuesta la podemos encontrar en las bases epistemológicas y cognitivas de la educación matemática en ingeniería. Revisemos estos antecedentes para luego reflexionar sobre los otros aspectos.

EPISTEMOLOGIA Y COGNICIÓN

En la tradición anglosajona se ha entendido la “Epistemología” como sinónimo de “Teoría del conocimiento”. Se ocupa de las distintas formas de conocer y de teorizar sobre el mundo. Un representante canónico de esta visión de la epistemología es Willard Van Orman Quine (1908 – 2000), quien además marca, dentro de la tradición analítica, el comienzo de una “epistemología naturalizada” (1969). El giro naturalista propuesto por Quine viene de la mano del reconocimiento del fracaso de los intentos de construir un conocimiento seguro (lógicamente consistente) en base a enunciados observacionales. La ventaja epistémica del programa reduccionista se basa precisamente en la reducción de teorías a enunciados observacionales y su reconstrucción lógica. Sin embargo la carga teórica de los enunciados observacionales (su dependencia verificacionista del conjunto de enunciados de la teoría) junto con la imposibilidad de una certeza en la inducción aniquila la ventaja epistémica de una reducción lógica que ya no es reducción. De este modo la psicología se muestra como el reemplazo legítimo del programa epistemológico tradicional.

El argumento de Quine toma la siguiente forma: 1) Una afirmación sobre el mundo no siempre tiene un fundamento separable propio de consecuencias empíricas. 2) Por tanto no se puede esperar una reducción por traducción de enunciados a enunciados en forma lógico-matemática-observacional. 3) Esta imposibilidad disipa la ventaja que una reconstrucción racional tiene sobre la psicología. 4) Para llegar a la misma construcción final mejor la psicología que un constructo artificial.

Quine articula de este modo una transición del programa epistemológico tradicional a la psicología. La epistemología pasa a estudiar un fenómeno natural: el sujeto humano físico. “Epistemology, or something like it, simply falls into place as a chapter of psichology and hence of natural science. It studies a natural phenomenon, viz., a physical human subject. This human subject is accorded experimentally controlled input –certain patterns of irradiation in assorted frequencies, for instance– and in the fullness of time the subject delivers as output a description of the three-dimensional external world and its history. The relation between the meager input and torrential output is a relation that we are propted to study for somewhat the same reasons that always prompted epistemology; namely, in order to see how evidence relates to theory, and in what ways one’s theory of nature transcends any available evidence” . Lo que debe estudiarse es el proceso entre el input que recibe un sujeto y el output que da en forma de aserción sobre ese estímulo. La epistemología antigua aspiraba a contener la ciencia natural; construyéndola sobre la base de los sentidos. En cambio la nueva epistemología propuesta por Quine está contenida en la ciencia natural. Nuestra empresa epistemológica es la misma construcción de estímulos a enunciados que la de nuestro sujeto de análisis. Existe por tanto una contención doble: epistemología en la ciencia natural, y ciencia natural en la epistemología. “There is thus reciprocal containment, though in different senses: epistemology in natural science and natural science in epistemology” [5]

Por lo tanto, el giro naturalista extiende el dominio de la epistemología al ámbito las llamadas “Ciencias cognitivas” o ciencias del conocimiento, tales como la neurología y bioneurología, la psicología cognitiva, la lingüística, las ciencias de la educación, la inteligencia artificial, etc., las que experimentan un gran desarrollo a comienzos de este siglo y han acumulan una cantidad de observaciones y teorías que están cambiando el conocimiento que tenemos de nuestro conocimiento. Procesamiento de la información, redes neuronales, estrategias cognitivas, evolución del pensamiento, neurología de las operaciones mentales, constituyen temas de investigación que fundamentan nuevas posturas epistemológicas, como el constructivismo.

Este naturalismo epistemológico, ha estimulado a diversos investigadores a estudiar los procesos cognitivos que, en forma deliberada y consciente, realizan los estudiantes cuando estudian, resuelven problemas, realizan tareas o intentan adquirir información lo que abrió las puertas a un debate referido al alcance, significado y naturaleza de las interrelaciones entre los diversos tipos de conocimiento y los procesos meta cognoscitivos. [6]. El profesor de psicología de la Universidad de Stanford, John H. Flavell, define la metacognición como “el conocimiento de los propios procesos cognoscitivos, de los resultados de esos procesos y de cualquier aspecto que se relacione con ellos; es decir, el aprendizaje de las propiedades relevantes de la información” [7]. Por su parte, el músico y psicólogo Orpha k. Duell de la Wichita State University, afirma que “la metacognición es el conocimiento que tiene el aprendiz sobre su sistema de aprendizaje y las decisiones que toma en relación con la manera de actuar sobre la información que ingresa a dicho sistema”. [8]. El Dr. Pablo Ríos Cabrera de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador de Venezuela afirma que “la metacognición es un concepto amplio que engloba el control consciente de los procesos cognitivos como la atención, la memoria y la comprensión” [9] En síntesis, podemos afirmar que la metacognición puede definirse como el grado de conocimiento de los individuos sobre sus formas de pensar (procesos y eventos cognoscitivos), los contenidos (estructuras) y la habilidad para controlar esos procesos con el fin de organizarlos, revisarlos y modificarlos en función de los progresos y los resultados del aprendizaje.

Al iniciarse el proyecto de naturalización de la epistemología, ocurrió que un buen número de preguntas del ámbito de la filosofía de las matemáticas fueron olvidadas. Entre ella la que interrogaba por la relación entre matemática y realidad, cuestión que es de vital importancia en la educación matemática de un ingeniero. Las preguntas sobre l carácter formal o intuitivo de las matemáticas, también perdieron relevancia e medio de una vorágine de docentes que buscan las mejores técnicas para lograr una correcta articulación con la educación secundaria o para evitar el fracaso en los primeros años o, simplemente para evitar la deserción en las carreras ingeniería. Una de las propuestas técnicas que goza de prestigio es la del matemático Alan Schoenfeld.

EDUCACION MATEMATICA Y LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Desde que se declaró el fracaso de las llamadas “Matemáticas Modernas” a finales de la década de los ‘70 y luego de los intentos “de regresar a lo básico”, la heurística, es decir la “Resolución de Problemas” ha ocupado un lugar destacado en la preocupación por una enseñanza de las matemáticas adecuada a lo que requieren los ingenieros. Esta estrategia, es mucho más rica que la aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde los datos guarden una cierta coherencia lógica y epistemológica. Esto exige de los estudiantes y profesores la capacidad de contar con herramientas cognitivas que permitan reconocer distinciones relevantes que den paso a la formulación de jerarquías, identificar datos prioritarios, rechazar los elementos que distorsionan, escoger las operaciones que los relacionan, estimar el “rango de la respuesta”, entre otros elementos.

Alan Schoenfeld afirma que nos debemos aproximar a la comprensión y a la enseñanza de las matemáticas en el dominio de la resolución de problemas (problem-solving). Según Schoenfeld [10], en matemáticas son necesarias cuatro categorías de conocimiento – habilidades (knowledge / skills): (1) Recursos, es decir conocimiento procesal de matemáticas; (2) Heurística, es decir, estrategias y técnicas para la solución de problemas; (3) Control – saber tomar decisiones sobre cuando y qué recursos y estrategias a utilizar, y (4) Creencia, en lo fundamental, una “opinión matemática del mundo” que determina cómo alguien se acerca a un problema. es apoyada por el análisis extenso del protocolo de los estudiantes que solucionan problemas. El marco teórico de la teoría de Schoenfeld se basa sobre mucho trabajo en psicología cognoscitiva, particularmente el trabajo de Newell y Simon. Schoenfeld [11] pone énfasis en la importancia del metacognición y de los componentes culturales de las matemáticas el aprender (es decir, sistemas de la creencia) que en su formulación original.

Estas demandas de carácter epistemológico marcan una diferencia básica entre el concepto de “problema” y el de “ejercicio”. Desde nuestra perspectiva, hacer un ejercicio en matemáticas es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica, evitando los obstáculos que introducen la aplicación de reglas cada vez más complejas. Por su parte, resolver un problema es dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro de un contexto. La respuesta suele ser única, pero la estrategia resolutoria está determinada por factores de coherencia y madurez intelectual de otro tipo que deben potenciar el saber, el ser y el saber hacer propio de los ingenieros

Los aspectos cognitivos de la “resolución de problemas”: conocimiento procesal, heurística, control y creencia, se tornan relevantes debido a que demandan, lo que Resnick [2] llama “Higher Order Thinking” (pensamiento de alto nivel), tanto para los profesores como para los estudiantes. De hecho, se espera que ambos construyan su conocimiento matemático al enfrentar, dentro del contexto de la sala de clases, problemas para los que no conoce a priori una estrategia de solución apropiada. ¿Esta reliada nos permite reformular las preguntas de la vieja epistemología de las matemáticas? ¿Encontramos en estos argumentos la ruta para continuar tratando de resolver los problemas fundamentales de las matemáticas para los ingenieros? Al fin de cuentas, el pensar en “heurística” y “ambigüedad” nos puede llevar de vuelta al libro que contiene las preguntas fundamentales del saber matemático.

¿QUE ES EL “HIGHER ORDER THINKING”


“Every day thinking, like ordinary walking, is a natural performance we all pick up. But good thinking, like running the l00-yard dash, is a technical performance… Sprinters have to be taught how to run the 100-yard dash; good thinking is the result of good teaching, which includes much practice.” David Perkins, de la Howard University

Como ya hemos anunciado, aceptar, como estrategia o como “modo fundamental” de aprender, la resolución de problemas”, requiere de generar una serie de preguntas epistemológicas del tipo “¿En qué consiste realmente la matemática?”, en Teoremas (como el teorema fundamental del álgebra)?, ¿en Pruebas (como la prueba de Gödel)?, ¿en Definiciones (como la definición de dimensión de Menger)?, ¿en Teorías (como la teoría de las categorías)?, ¿en Fórmulas (como la formula de la integral de Cauchy)?, ¿en Métodos (como el método de aproximaciones sucesivas)?. Los profesores de matemáticas en Ingeniería reconocen que la matemática no podría existir sin estos ingredientes; son esenciales, dicen. Sin embargo, argumentan, muchas veces de modo algo despectivo, que ninguno de ellos está en el corazón del tema y que la principal razón para la existencia de las matemáticas para los ingenieros es para que ellos resuelvan problemas y que esto, por consiguiente, es en lo que realmente consiste la matemática: problemas y soluciones. Creemos que estos profesores, son partidarios de lo algorítmico, consideran que el camino para la acción se encuentra completamente especificado con anterioridad. Son partidarios de los caminos visibles, por lo que utilizan ejemplos estándar en sus explicaciones. Creen en una solución única. Se sienten cómodos en la certeza, dicen: “se ha dado toda la información que se requiere para desarrollar el ejercicio” y, su trabajo, involucra ejercicios rutinarios tan simples que requieren de muy poco esfuerzo mental y muchas veces el uso de la capacidad de memorizar. Esta forma de argumentar es la negación del pensamiento de alto nivel.

Para la formación de ingenieros con un pensamiento de alto nivel, es necesario que manejen adecuadamente el trabajo con gráficos, la interpretación del concepto de derivada como “razón de cambio”, la interpretación del concepto de “integral” como suma para poder usarla en el cálculo de diversas magnitudes físicas, la habilidad de modelar matemáticamente fenómenos y procesos de la realidad y, finalmente, la habilidad de interpretar los resultados obtenidos, identificando las limitaciones que corresponda. Entonces, lo que se espera es que el estudiante sea: 1) No-algorítmico, 2) Complejo, es decir que estime que el camino total no es “visible” (hablando mentalmente) desde un único punto de vista., 3) Que opte por soluciones múltiples: el pensamiento de alto nivel da lugar frecuentemente a soluciones múltiples, cada una con costos y beneficios, 4) Que acepte la incertidumbre, es decir que acepte que no se conoce todo lo que se requiere para desarrollar la tarea y que entienda que su estudio requiere gran cantidad de trabajo mental con el propósito de desarrollar las estrategias y los criterios involucrados.

No pocas veces, esta mirada a lo Resnick [3] se opone a la mirada estándar de las matemáticas expresada por algunos profesores. Para lograr el cambio de ésta a la de “pensamiento de alto nivel”, nos parece necesario, incorporar al currículo al menos cuatro variables que deben transversalizarse. A saber, estas son: 1) Historia de las matemáticas, 2) Uso de la tecnología, 3) Modelamiento y 4) Fomento o gusto por las matemáticas.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS Y PENSAMIENTO DE ALTO NIVEL

Revisemos el valor de la historia de las matemáticas a partir de las reflexiones de Miguel De Guzmán [4]. Según este autor, “el valor del conocimiento histórico no consiste en tener una batería de historietas y anécdotas curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de hacer un alto en el camino. La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difícil del modo más adecuado. Quien no tenga la más mínima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemático ha recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la noción rigurosamente formalizada del número complejo, se sentirá tal vez justificado para introducir en su enseñanza los números complejos como “el conjunto de los pares de números reales entre los cuales se establecen las siguientes operaciones…”.

En el análisis Guzmaniano, la visión histórica “transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento buscadas ansiosamente y en muchas ocasiones con genuina pasión por hombres de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando por primera vez dieron con ellas. Cuántos de esos teoremas – afirma el autor -, “que en nuestros días de estudiantes nos han aparecido como verdades que salen de la oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teoría, después de haberla estudiado más a fondo, incluido su contexto histórico y biográfico.” La perspectiva histórica ofrece otra ventaja: “nos acerca a la matemática como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz también de corregir sus errores. Nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas.”

Y, la historia de las matemáticas, también se constituye como un aporte fundamental a la cognición matemática ya que, según Guzmán, desde el punto de vista del conocimiento más profundo de la propia matemática “la historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el matemático técnico, como para el que enseña. Si cada porción de conocimiento matemático de nuestros libros de texto llevara escrito el número de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna aproximación, veríamos saltar locamente los números, a veces dentro de la misma página o del mismo párrafo. Conjuntos, números naturales, sistemas de numeración, números racionales, reales, complejos,… decenas de siglos de distancia hacia atrás, hacia adelante, otra vez hacia atrás, vertiginosamente. No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal circunstancia.

Guzmán, insiste en que el orden lógico que se le atribuye al conocimiento matemático no es necesariamente el orden histórico, “ni tampoco el orden didáctico coincide con ninguno de los dos”. Invita a los profesores a saber cómo han ocurrido las cosas, para, al menos: 1) comprender mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad, en la elaboración de las ideas matemáticas, y a través de ello las de sus propios alumnos; 2) entender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfonía matemática; 3) utilizar este saber como una sana guía para su propia pedagogía.

Guzmán, cita al matemático polaco – alemán O. Toeplitz (1881 – 1940) para destacar el valor epistemológico y cognitivo de la Historia de la Matemática: “Con respecto a todos los temas básicos del cálculo infinitesimal… teorema del valor medio, serie de Taylor,…nunca se suscita la cuestión ¿Por qué así precisamente? o ¿Cómo se llegó a ello? Y sin embargo todas estas cuestiones han tenido que ser en algún tiempo objetivos de una intensa búsqueda, respuestas a preguntas candentes…Si volviéramos a los orígenes de estas ideas, perderían esa apariencia de muerte y de hechos disecados y volverían a tomar una vida fresca y pujante”.

Tal visión dinámica nos capacitaría para muchas tareas interesantes en nuestro trabajo educativo: 1) la posibilidad de extrapolación hacia el futuro; 2) la inmersión creativa en las dificultades del pasado; 3) comprobación de lo tortuoso de los caminos de la invención, con la percepción de la ambigüedad, oscuridad, confusión iniciales, a media luz, esculpiendo torsos inconclusos… Por otra parte el conocimiento de la historia de la matemática y de la biografía de sus creadores más importantes nos hace plenamente conscientes del carácter profundamente histórico, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento,… así como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la filosofía, la matemática, la tecnología, las diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la matemática suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia.

A MODO DE CONCLUSIÓN: LA HISTORIA DE LAS MATEMATICAS COMO UN LABORATORIO DE METACOGNICION

En la historia de las matemáticas se puede observar con una claridad meridiana que la construcción del conocimiento no ha sido algorítmica, que no han existido caminos para la acción completamente especificados con anterioridad. Muchos caminos han sido invisibles, y nunca se ha trabajado con ejemplos pre establecidos. Las soluciones a un mismo problema han resultado ser múltiples. Los matemáticos han enfrentado la incertidumbre y no han tenido certeza al investigar en ambientes cambiantes, lejanos a de cualquier rutina estéril. En la historia de las matemáticas se da el ámbito para lograr que los estudiantes de ingeniería aprendan a pensar de modo No-algorítmico, complejo, que opte por soluciones múltiples: y que acepte la incertidumbre. E la historia de las matemáticas yacen escondidas las viejas preguntas epeistemologicas que los docentes, algún día, ya no podrán obviar, en especial debido a la alta complejidad de los estudios de la ingeniería en el siglo XXI.

Por otra parte, iniciado el camino hacia una enseñanza de las matemáticas con base en la resolución de problemas, como formadores de futuros ingenieros, la transversalización de la enseñaza de la Historia de las Matemáticas, plantean una serie de interrogantes y nuevos desafíos en la manera de enfrentar el proceso de aprendizaje en base a competencias. Entre ellas, ¿cuál debe ser el perfil y las competencias básicas de nuestros profesores?, ¿y de nuestros alumnos?, ¿qué tecnologías debemos incorporar?, ¿cuáles son las metodologías más adecuadas a los objetivos de formación pretendidos?, ¿cómo popularizamos el gusto por las matemáticas en nuestros estudiantes?. Nos parece que la respuesta está en formar verdaderos equipos de investigación en educación matemática de manera de lograr una enseñanza acorde a los problemas que la realidad de la ingeniería requiere.

BIBLIOGRAFIA SOBRE HISTORIA DE LAS AMETMATICAS EN ESPAÑOL.

ALEKSANDROV A.D., KOLMOGOROV, A.N. LAURENTIEV, M.A. Y OTROS. (1973). La matemática: su contenido, método y significado. 3 vols. Alianza Editorial, Madrid, (11ª impresión 2003). ISBN: 84-206-2993-6.

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KLINE, M. (1992) El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. 3 Vols. Alianza Editorial, Madrid, (3ª impresión 2002). ISBN: 84-206-2957-X.

SÁNCHEZ VALENZUELA, A. (2000) Una descripción parcial del desarrollo de la geometría diferencial en el siglo XX, y una panorámica sesgada de sus perspectivas al futuro. Miscelánea Matemática, 32 69-102.

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H. Wussing y W. Arnold. Biografías de grandes matemáticos. Prensas Universitarias de Zaragoza, Zaragoza, 1989. ISBN: 84-7733-119-7.


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[2] RESNICK, L.B. (1987).Education and learning to think. Washington, DC: National Academy Press.

[3] RESNICK, L.B. (1983). Mathematics and science learning: A new conception. Science, 220, pp. 477-478.

[4] DE GUZMÁN. M. (1993) “Tendencias Innovadoras en Educación Matemática” Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Editorial Popular.

[5] QUINE, W. (1969). “Epistemology Naturalized”. En “Ontological Relativity and Other Essays”. Columbia University Press.

[6] SCHRAW, G. Y MOSHMAN, D. (1995). Metacognitive theories. Educational Psychology Review, 7, 351-371.

[7] FLAVELL, J.H. (1979). “Metacognition and cognitive monitoring: A new area of cognitive developmental inquiry”. American Psychologist, 34, 906-911

[8] DUELL, O. K. (1986). Metacognitive skills. In G. D. Phye & T. Andre (Eds.), Cognitive instructional psychology: Components of classroom learning (pp. 205-242). New York: Academic Press.

[9] RÍOS, P. (1991). Metacognición y comprensión de la lectura. En A. Puente (Comp.), Comprensión de la lectura y acción docente. Madrid: Ediciones Pirámide, S.A.

[10] SCHOENFELD, A. (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press.

[11] SCHOENFELD, A. (1987). Cognitive Science and Mathematics Education. Hillsdale, NJ: Erlbaum Assoc.

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